Rozkład funkcji wymiernej na sumę wielomianu i ułamka wymiernego. Rozkład wielomianu na czynniki

Definicja 1: Funkcja wymierna

Funkcję \( W(x)=\frac{ P(x) }{ Q(x) } \) nazywamy funkcją wymierną , jeśli \( P(x) \) i \( Q(x) \) są wielomianami dowolnego stopnia.

Jeśli stopień wielomianu \( P(x) \) jest mniejszy niż stopień wielomianu \( Q(x), \) to funkcję \( W(x) \) nazywamy funkcją wymierną właściwą (ułamkiem wymiernym) .

Zauważmy, że każdą funkcję wymierną niewłaściwą (tj. \( st.P(x) \geq st.Q(x) \)) można przedstawić jako sumę wielomianu i funkcji wymiernej właściwej poprzez wykonanie dzielenia wielomianów z resztą.
Kilka przykładów pozwoli nam się zapoznać z technikami przekształcania funkcji wymiernej niewłaściwej na sumę wielomianu i funkcji wymiernej właściwej.

Przykład 1:

Przedstawić podaną funkcję wymierną w postaci sumy wielomianu i ułamka wymiernego

\( f(x)=\frac{x^4+3x^2-1}{x^2+5}. \)

Przekształcając wzór funkcji, otrzymujemy

(1)

\( \begin{align*}f(x)=\frac{ x^4+3x^2-1 }{ x^2+5 } &=\frac{ x^2(x^2+5)-2x^2-1 }{ x^2+5 } = x^2+\frac{ -2x^2-1 }{ x^2+5 }=\\\\&= x^2+\frac{ -2(x^2+5)+9 }{ x^2+5 }=x^2-2+\frac{ 9 }{ x^2+5 }.\end{align*} \)

Szukana postać funkcji, to wielomian \( x^2-2 \) i ułamek wymierny \( \frac{9}{x^2+5}. \)

Przykład 2:

Zapisz funkcję wymierną w postaci sumy wielomianu i ułamka wymiernego

\( f(x)=\frac{x^8}{x^3+1}. \)

Funkcję wymierną właściwą otrzymamy, wykonując dzielenie z resztą wielomianów

\( \begin{array}{lll} (x^8) & : & (x^3+1) = x^5 - x^2 \\ \underline{ -x^8 - x^5 } & & \\ \qquad -x^5 & & \\ \qquad \, \, \underline{ x^5 + x^2 } & & \\ \qquad \qquad \, \, x^2 & & \\ \end{array} \)

Stąd

\( f(x)=\underbrace{ x^5-x^2 }_{ wielomian }+\underbrace{ \frac{ x^2 }{ x^3+1 }.}_{ ułamek \, wymierny } \)

Zadanie 1:

Treść zadania:

Przedstawić podaną funkcję w postaci sumy wielomianu i ułamka wymiernego

\( f(x)=\frac{ x^3+3x-9 }{ x^2+2x+5 }. \)

Twierdzenie 1: o rozkładzie wielomianu na czynniki

Każdy wielomian o współczynnikach rzeczywistych można przedstawić jako iloczyn czynników \( (x-a_i)^{ k_i } \) i \( (x^2+b_ix+c_i)^{l_i} \), gdzie wielomiany \( x^2+b_ix+c_i \) są nierozkładalne (tzn. mają \( \Delta_i <0) \) zaś \( k_i, l_i \in \mathbb{N} \cup \{0\} \) nazywają się krotnościami tych czynników. Wówczas wielomian dla \( a_n \neq 0 \) ma postać:

(4)

\( \begin{align*} W(x)& = a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+ \dots +a_1 x+a_0=\\\\& =a_n(x-a_1)^{k_1}(x-a_2)^{k_2}\dots(x-a_r)^{k_r}(x^2+b_1x+c_1)^{l_1}\dots(x^2+b_sx+c_s)^{l_s} \end{align*} \)

oraz \( k_1+k_2+\dots+k_r+2(l_1+\dots+l_s)=n. \) Liczby \( k_1, k_2, \dots, k_r \) nazywamy wówczas krotnościami pierwiastków \( a_1, a_2, \dots, a_r \), ponieważ czynnik liniowy \( (x-a_i) \) pojawia się w rozkładzie wielomianu na czynniki \( k_i - \) krotnie: \( (x-a_i)^{k_i}. \)

Przykład 3:

Rozłóżmy wielomian \( R(x) \) na czynniki, jeśli

\( R(x)=x^3+x^2-x-1. \)

Wielomian \( R(x) \) rozłożymy na czynniki stosując metodę grupowania wyrazów

(5)

\( \begin{align*}R(x)=x^3+x^2-x-1&=x^2(x+1)-(x+1)=(x+1)(x^2-1)=\\\\&=(x+1)(x+1)(x-1)=(x+1)^2 (x-1).\end{align*} \)

Przykład 4:

Rozłóżmy na czynniki wielomian

\( P(x)=x^4+1. \)

Skorzystamy ze wzorów skróconego mnożenia. Przekształcając wzór wielomianu \( P(x), \), otrzymujemy

(6)

\( \begin{multline*}P(x)=x^4+1=(x^4+2x^2+1)-2x^2=(x^2+1)^2-2x^2=\\\\=(x^2+1)^2-(\sqrt{2}x)^2=(x^2+1-\sqrt{2}x)(x^2+1+\sqrt{2}x),\end{multline*} \)

gdzie obie zapisane w nawiasach funkcje kwadratowe są nierozkładalne (w obu przypadkach ich \( \Delta<0 \)). Zatem jest to szukany rozkład wielomianu \( P(x) \), gdyż jest to iloczyn złożony jedynie z czynników liniowych lub kwadratowych, o delcie ujemnej, w pewnych potęgach (tutaj oba te czynniki mają krotności pojedyncze).

Przykład 5:

Rozłóżmy wielomian \( Q(x) \) na czynniki, jeśli

\( Q(x)=2x^4+20x^2+18. \)

Zróbmy podstawienie \( x^2=t \geq 0 \) czyli \( Q(t)=2t^2+20t+18 \). Korzystając z własności funkcji kwadratowej \( (\Delta=b^2-4ac, t_1=\frac{ -b-\sqrt{\Delta }}{ 2a }, t_2=\frac{ -b+\sqrt{\Delta} }{ 2a } ) \), otrzymujemy, że \( t_1=-1 \) oraz \( t_2=-9 \). Nie chodzi tu jednak o wyliczenie pierwiastków wielomianu, których nasz wielomian oczywiście nie ma, a jedynie o zamianę sumy na iloczyn.

Stąd mamy postać iloczynową

\( Q(t)=2t^2+20t+18=2(t+1)(t+9). \)

Wracając do podstawienia mamy szukany rozkład wielomianu \( Q(x) \) na czynniki

\( Q(x)=2(x^2+1)(x^2+9). \)

Zadanie 2:

Treść zadania:

Rozłóż wielomian \( W(x) \) na czynniki, jeśli

\( W(x)=x^6-2x^5+3x^4-4x^3+3x^2-2x+1. \)

Matematyka

Rozkład funkcji wymiernej na sumę wielomianu i ułamka wymiernego. Rozkład wielomianu na czynniki

Definicja 1: Funkcja wymierna

Przykład 1:

Przykład 2:

Zadanie 1:

Treść zadania:

Rozwiązanie:

Twierdzenie 1: o rozkładzie wielomianu na czynniki

Przykład 3:

Przykład 4:

Przykład 5:

Zadanie 2:

Treść zadania:

Rozwiązanie:

Temat:
Opis:
Typ:

Email: